Levelezős csapatverseny – 1. feladatsor

IV. feladat

El tudnál-e irányítani egy űrhajót? Megvannak-e az eszközeid a pályájának kiszámításához?

Miután Pistike megette a szilvás buktáját és te is eluntad a nézelődést, eldöntitek, hogy szétnéztek az űrhajón is. Végül persze a parancsnoki kabinban köttök ki. Sok érdekes kütyüt láttok, amikről nem tudjátok micsoda. Rengeteg kérdésetek van, alig győznek rájuk válaszolni. Majd a végén megkéritek a legénységet, hagy próbáljátok ki az űrhajó vezetését. Erre azért van szükség, mert különös álmod volt. 2042-ben járunk...

...Utazásodat legénységeddel 2042 végén sikeresen megkezdted számos műszerrel, melyekkel mindent feltérképezhetsz a ***** bolygó élőlényeiről, földtani adatairól és fizikai tulajdonságairól. Már csak pár hétre vagytok a célponttól, amikor a Földről továbbítják felétek a Független Asztrofizikai Intézet Levelét (FAIL), melyben a következő szerepel:

„Tisztelt Kapitány!
Sajnálattal közöljük Önnel illetve tisztelt legénységével, hogy az expedíciót megelőzően a meteor eredetét tévesen határoztuk meg, a meteor a ***** helyett nagy valószínűséggel a ******** bolygóról származik. Az űrpálya módosítására a következőt ajánljuk:
Jelen pillanatban u₀ sebességgel haladnak a ***** bolygó felé, eddig jelentősen nem változtatta a bolygó a pályájukat. Az eredeti terv szerint közelítsék meg hiperbolapályán a bolygót a gravitációs terét használva, majd amikor sebességük a bolygó irányára merőlegessé válik, mérjék meg sebességüket a bolygóhoz képest a velociméterük segítségével. Ebben a pillanatban kapcsolják be a szuperhajtóművet, és válasszák meg úgy sebességüket, hogy a bolygó okozta teljes szögeltérülés ϕ = 75° legyen!”

Feladatunk kiszámítani, hogy ha a FAIL tanácsát megfogadjuk, és velociméterünk szerint u₁ = ⋅u₀ volt a sebessége az űrhajónak, amikor merőleges volt a sebesség a bolygó irányára, akkor mekkora u₂ (szintén tangenciális) sebességre kell pillanatszerűen növelni az űrhajónk sebességét, hogy a bolygó által okozott teljes szögeltérítés nagysága ϕ = 75° legyen?

Útmutatás: nehézségi erőtérben a végtelenből érkező testek hiperbolapályán haladnak, melyek a következő alakban paraméterezhetőek:
    
ahol p, ϵ, θ₀ a pálya paraméterei, r bolygótól mért távolság, θ a polárszög egy a bolygón átmenő egyeneshez képest.

IV.1 Vezessük be a ϕ₁ minimális távolságú helyzetig való szögelfordulást, illetve a b impakt paramétert! Fejezzük ki ezek segítségével a p és ϵ paramétereket!

IV.2 Elemi megfontolások segítségével adjunk egy összefüggést u₁, u₀, b és a minimális űrhajó-bolygó távolság között. Próbáljuk meg a távolságokat kiküszöbölni az összefüggésből.

IV.3 Próbáljuk meg kifejezni ϕ₁-et a két sebesség segítségével. Határozzuk meg mekkora szögeltérés szükséges még, és elemi megfontolással találjuk ki, mekkora sebességre kell gyorsítanunk akkor, amikor a bolygó minimális távolságban van az űrhajótól!

Vissza a feladatsorhoz | I. feladat | II. feladat | III. feladat | IV. feladat | V. feladat | VI. feladat | VII. feladat

A verseny kereteit a TÁMOP - 4.2.2/B-10/1-2010-0030 „Önálló lépések a tudomány területén” pályázat biztosította.