Levelezős csapatverseny – 1. feladatsor – megoldások

IV. feladat

Pontozás: 12 pont

El tudnál-e irányítani egy űrhajót? Megvannak-e az eszközeid a pályájának kiszámításához?

Miután Pistike megette a szilvás buktáját és te is eluntad a nézelődést, eldöntitek, hogy szétnéztek az űrhajón is. Végül persze a parancsnoki kabinban köttök ki. Sok érdekes kütyüt láttok, amikről nem tudjátok micsoda. Rengeteg kérdésetek van, alig győznek rájuk válaszolni. Majd a végén megkéritek a legénységet, hagy próbáljátok ki az űrhajó vezetését. Erre azért van szükség, mert különös álmod volt. 2042-ben járunk...

...Utazásodat legénységeddel 2042 végén sikeresen megkezdted számos műszerrel, melyekkel mindent feltérképezhetsz a ***** bolygó élőlényeiről, földtani adatairól és fizikai tulajdonságairól. Már csak pár hétre vagytok a célponttól, amikor a Földről továbbítják felétek a Független Asztrofizikai Intézet Levelét (FAIL), melyben a következő szerepel:

„Tisztelt Kapitány!
Sajnálattal közöljük Önnel illetve tisztelt legénységével, hogy az expedíciót megelőzően a meteor eredetét tévesen határoztuk meg, a meteor a ***** helyett nagy valószínűséggel a ******** bolygóról származik. Az űrpálya módosítására a következőt ajánljuk:
Jelen pillanatban u₀ sebességgel haladnak a ***** bolygó felé, eddig jelentősen nem változtatta a bolygó a pályájukat. Az eredeti terv szerint közelítsék meg hiperbolapályán a bolygót a gravitációs terét használva, majd amikor sebességük a bolygó irányára merőlegessé válik, mérjék meg sebességüket a bolygóhoz képest a velociméterük segítségével. Ebben a pillanatban kapcsolják be a szuperhajtóművet, és válasszák meg úgy sebességüket, hogy a bolygó okozta teljes szögeltérülés ϕ = 75° legyen!”

Feladatunk kiszámítani, hogy ha a FAIL tanácsát megfogadjuk, és velociméterünk szerint u₁ = ⋅u₀ volt a sebessége az űrhajónak, amikor merőleges volt a sebesség a bolygó irányára, akkor mekkora u₂ (szintén tangenciális) sebességre kell pillanatszerűen növelni az űrhajónk sebességét, hogy a bolygó által okozott teljes szögeltérítés nagysága ϕ = 75° legyen?

Útmutatás: nehézségi erőtérben a végtelenből érkező testek hiperbolapályán haladnak, melyek a következő alakban paraméterezhetőek:
    
ahol p, ϵ, θ₀ a pálya paraméterei, r bolygótól mért távolság, θ a polárszög egy a bolygón átmenő egyeneshez képest.

IV.1 Vezessük be a ϕ₁ minimális távolságú helyzetig való szögelfordulást, illetve a b impakt paramétert! Fejezzük ki ezek segítségével a p és ϵ paramétereket!

Megoldás: Kövessük a feladat útmutatását. Az űrhajó a bolygó gravitációs terében hiperbolapályán halad, mely egyenlete

Láthatjuk, hogy θ-ban szimmetrikus a távolság θ₀ körül, vagyis a θ₀ szög felel meg a legközelebbi pontnak. Az ábráról leolvashatjuk, hogy a végtelen távolból jövő űrhajó polárszöge kezdetben θ_max = θ₀+π/2+ϕ₁. Ennél a szögnél tehát végtelennek kell lennie r(θ)-nak, ami csak úgy lehet, hogy a nevezőjében lévő kifejezés értéke zérus:

A pálya p paraméterének meghatározásához fel kell használnunk az ismert kezdősebességet is. Valahogy tehát azt a tényt kell felhasználni, hogy kezdetben, nagyon messze a bolygótól a sugár változásának mértéke

A változás mértékét megkaphatjuk a pálya egyenletét felhasználva is:

A polárszög változása nem más, mint az űrhajó szögsebessége a bolygó körül. A szögsebességet a tangenciális sebességből kaphatjuk meg. Nagy távolságok esetén a következőképp közelíthetünk:

ahol b a feladatban említett impakt paraméter. Ezt felhasználva:

A sugárváltozás kétféle felírásának ekvivalensnek kell lennie, és ebből a következő feltételt kapjuk a p paraméterre:

IV.2 Elemi megfontolások segítségével adjunk egy összefüggést u₁, u₀, b és a minimális űrhajó-bolygó távolság között. Próbáljuk meg a távolságokat kiküszöbölni az összefüggésből.

Megoldás: Ehhez a részhez az impulzusmomentum megmaradását kell kihasználni. Felírva a perdületet a nagy távolságú határesetben és a pálya a bolygóhoz legközelebb eső pontjában:

ahol r_min az űrhajó minimális távolsága a bolygótól:

Ennek segítségével u₀ és u₁ között a kapcsolat:

IV.3 Próbáljuk meg kifejezni ϕ₁-et a két sebesség segítségével. Határozzuk meg mekkora szögeltérés szükséges még, és elemi megfontolással találjuk ki, mekkora sebességre kell gyorsítanunk akkor, amikor a bolygó minimális távolságban van az űrhajótól!

Megoldás: Mivel ismerjük a sebességek arányát, ki tudjuk számítani a ϕ₁ szöget. Az egyenlet a következő alakba írható:

Ennek egyetlen megoldása a [0,π/2] tartományban ϕ₁ = π/6. A kívánt szögelfordulás eléréséhez még

szögelfordulásra van szükség. Láthattuk, hogy a hiperbola egyik ágán való szögelfordulás, valamint a félpálya két oldalán lévő sebességarány kölcsönösen meghatározzák egymást. A probléma szimmetriája miatt a hiperbola másik ágán ugyanaz lesz az összefüggés a szögelfordulás és a sebességarány között. Jelöljük a módosított sebességet u₂-vel, illetve u₃-al azt a sebességet, melyre az űrhajó lelassul elhagyva a bolygót. A kettő aránya tehát

Azt is tudjuk a bolygó megközelítése és elhagyása során ugyanannyival változik az űrhajó mozgási energiája, hiszen potenciállal leírható erőtérben mozog. Ez alapján a következő reláció igaz a sebességekre:

u₃ és u₁ kiküszöbölhető az egyenletből, hiszen u₃/u₂ és u₀/u₁ ismert:

Egyszerű algebrai átalakítások után a következő adódik a sebességre:

Vissza a feladatsorhoz | I. feladat | II. feladat | III. feladat | IV. feladat | V. feladat | VI. feladat | VII. feladat

A verseny kereteit a TÁMOP - 4.2.2/B-10/1-2010-0030 „Önálló lépések a tudomány területén” pályázat biztosította.