Levelezős csapatverseny – 1. feladatsor – megoldások

VII. feladat

Pontozás: 8 pont

Egy kirobbanó kísérlet! Mit rejt az acélgömb?

Végre elérkezett Pistike 18. szülinapja. Mivel a nyílt láng használata és a dohányzás tilos, ezért egy 1 m belső sugarú acélgömbben akarná felrobbantani a szülinapi tűzijátékát (25 dkg RDX). Milyen vastag kell, hogy legyen a gömb fala, hogy ne repüljön szét egyből az egész? (becsülni szabad)

Megoldás:
RDX: C₃H₆N₆O₆
m = 250 g
M = 222.12 g/mol
n = m/M = 1.125 mol

„Teljes égés”: C₃H₆N₆O₆ + 1.5O₂ = 3CO₂ + 3N₂ + 3H₂O
Kellene, hogy legyen a gömbben: 1.69 mol O₂
Ennek térfogata (kb.): 25 dm³/mol ⋅ 1.69 mol = 42 dm³
Feltéve, hogy levegő van a gömbben, ennek az ötszöröse kell: 210 dm³
A gömb térfogata: 4/3⋅π⋅R³ = 4.2 m³ = 4200 dm³
(A benne levő levegő anyagmennyisége: 4200 dm³ = 25 dm³/mol = 168 mol)
Tehát van elég levegő.

A felszabaduló energia: 5277kJ/kg ⋅ 0.25kg = 1320 kJ = 1.32⋅10⁶ J
Az eredetileg a gömbben levő 168 mol levegő belső energiája (szabadsági foka kb. 5): E = f/2⋅n⋅R⋅T = 2.5 ⋅ 168 mol ⋅ 8.314 J/molK ⋅ 300K = 1⋅10⁶ J
Innen a robbanás utáni összenergia: 2.32⋅10⁶ J
Össz-anyagmennyiség: n_ö = 168 mol + 1.125 ⋅ (3 + 3 + 3) mol = 178 mol
Innen a hőmérséklet (szabadsági fok marad kb. 5): 2.32⋅10⁶ J = 2.5 ⋅ 178 mol ⋅ 8.314 ⋅ T
T = 897 K (= 600°C)
Innen a nyomás: 10⁵ Pa/300 K = P / 897 K; így P = 3⋅10⁵ Pa
Tehát a külső légnyomás háromszorosa.

Analógia: egy szappanbuborékban a levegő nyomása:
P = 4⋅σ/R
Az acélgömbben hasonlóak a viszonyok: a belső nagyobb nyomású gáz szét akarja nyomni, a szappanhártya vagy az acélköpeny pedig benntartja a gázt. De mit írhatunk akkor σ helyére? σ (egyik) jelentése: egy szappanhártya l hosszú egyenes határa σ⋅l erőt fejt ki.

Analóg módon: Az acélköpeny (d vastag) egy l hoszú egyenes határa (maximum, húzás ellenében) ekkora erőt fejt ki: l⋅d⋅R_m, ahol R_m a szakítószilárdság.
(Igen, a legpontatlanabb becslés ebben a megoldásban, mert nem elhanyagolható vastagságú a gömbhéj, így a görbülete nem elhanyagolható, még egy kis felületelemen sem)
Tehát (500 MPa szakítószilárdsággal számolva):
P = 4⋅d⋅R_m/R
d = (2⋅10⁵ Pa ⋅ 1 m) / (4⋅500⋅10⁶ Pa) = 0.1 mm

Megjegyzés: ne próbáljuk ki otthon, mert a hirtelen lökéshullámok, anyag melegedése, anyaghibák, bármilyen pici asszimetria stb. csúnya véget jelentenek.

Vissza a feladatsorhoz | I. feladat | II. feladat | III. feladat | IV. feladat | V. feladat | VI. feladat | VII. feladat

A verseny kereteit a TÁMOP - 4.2.2/B-10/1-2010-0030 „Önálló lépések a tudomány területén” pályázat biztosította.