Levelezős csapatverseny – 2. feladatsor – megoldások

I. feladat

Pontozás: 10 pont

Miután a legénységgel együtt megünnepeltétek Pistike születésnapján, hazasétáltok. Útközben megálltok egy szép nádfedeles benzinkútnál, ahol 3 űrlényt láttok fogócskázni.

Azonban nem a tradicionális fogócskát játsszák, hanem egy más verziót. Az A űrlény célja az, hogy megfogja B-t, B űrlény célja, hogy elkapja C-t, és C feladata A utolérése. Az űrlények igen butának tűnnek, mivel azt látjuk, hogy mindegyik űrlény mindegyik pillanatban teljes erőbedobással pontosan célpontja irányába halad, kicsit sem törekszik elé menni. Rövid szemlélődés után azt vesszük észre, hogy a három űrlény épp kölcsönösen egyenlő l₀ távolságban van egymástól, illetve mindegyikük sebessége azonos. Azt is meg tudjuk állapítani, hogy a lények mozgásuk során fáradnak, és sebességük nagysága a következő képlet szerint változik: v(t)=v₀ - a*t. Ha tartják a lassulásukat a lények a mozgás során, akkor vajon utolérik-e egymást? Ha igen, akkor mekkora a találkozásig megtett út, illetve mennyi idő alatt teszik ezt meg? Ha nem, mekkora távolságban állnak meg, és mennyi utat tettek meg a megállásig?

Adatok:
l₀ = 60 m
v₀ = 2.5 m/s
a=0.01 m/s²

Megoldás:

A mozgás szimmetriája okán a három űrlény végig egy szabályos háromszög három csúcsában lesz, csak a háromszög elfordul, illetve összemegy. Szemeljünk ki egy űrlényt, és nézzük meg, mekkora a relatív sebessége egy másik kiszemelt űrlényhez!

Legyen az adott pillanatban az űrlények sebessége v(t)! Ekkor felbontva az egyik űrlény sebességét a másik kiszemelt űrlény irányába eső és arra merőleges komponensekre láthatjuk, hogy a két űrlény egymáshoz képesti relatív sebessége 3/2 v(t). A relatív sebesség az idő függvényében tehát a következő alakú:

Kezdetben az űrlények egymáshoz képesti távolsága l₀. Mivel a relatív sebesség éppen a két űrlény távolságának megváltozásának mértéke, ezért a távolság változása a következőképp írható:

Pontosan ilyen alakú összefüggést kapunk egy egyenes vonalú egyenletesen lassuló mozgás esetén is. Így a találkozás t_m pillanatának meghatározásához felhasználhatjuk az egyenes vonalú egyenletesen lassuló mozgás út-idő összefüggését:

Az egyenletnek két pozitív gyöke van, nekünk a kisebbre van szükségünk (utána formálisan negatívvá válik az űrlények távolsága, aminek természetesen fizikailag semmi értelme nincs). Az egyenlet megoldása

Abban az esetben, ha az egyenletnek nem lenne gyöke, az azt jelentené, hogy az űrlények előbb fáradnak el teljesen, mint hogy találkozzanak. Most nem ez az eset, találkoznak az űrlények, mégpedig t_m ≈ 16.55 s elteltével. Az ennyi idő alatt megtett utat könnyű kitalálni a következő gondolatmenettel:
Ha felrajzoljuk a v_rel(t)=3/2 v(t) relatív sebességet az idő függvényében, akkor a 0 és t_m között a görbe alatti terület épp l₀ = 60 m, a kezdeti távolság. Az űrlények által megtett út pedig a v(t) görbe alatti területe 0 és t_m között. Így a megtett út nem más, mint

Vissza a feladatsorhoz | I. feladat | II. feladat | III. feladat | IV. feladat | V. feladat | VI. feladat | VII. feladat

A verseny kereteit a TÁMOP - 4.2.2/B-10/1-2010-0030 „Önálló lépések a tudomány területén” pályázat biztosította.