Levelezős csapatverseny – 2. feladatsor – megoldások

III. feladat

Pontozás: 10 pont

Amíg a földi válaszra vártok esztek szilvásbuktát (mert azt szeretitek).

III.1. Darabold fel az alábbi szilvásbukta-tortákat egybevágó darabokra (a vágásoknak nem kell feltétlenül rácspontokon lenniük):

Megoldás:

III.2. Az egyik szilvásbukta kör alakú és a teteje cukros. Amíg ti szeletelitek a különböző buktákat, egyik társatok annyira unatkozik, hogy a következő játékkal üti el az időt: Vág egyet a tortába (hagyományosan a közepétől a széléig) majd elforgatva r fokkal a tortát újra belevág és a két vágás közti darabot (vagy darabokat) egyenként a fejére állítja ezután újra elforgatja r fokkal, vág, a két legutóbbi vágás közti részt (vagy részeket) a fejére állítja és így tovább. Mely r fokokra lesz olyan pillanat, hogy az összes szelet újra cukros oldalával felfelé helyezkedik el?

Egy példa r = 140-re (a torta cukros fele világostürkiz):

Megoldás: pontosan akkor, ha r racionális.
Először tegyük fel, hogy r racionális. Ekkor léteznek olyan m, n egészek, hogy r = m/n. Ha 360n lépést teszünk, biztosan ugyanoda érkezünk, ahol először kezdtünk vágni. Továbbá, ha 2⋅360n lépést teszünk, páros sokszor érünk körbe, azaz minden szelet páros sokszor fordul meg, így ennyi lépés után biztosan a cukros része lesz felül.
Másrészt, ha r irracionális, akkor mindig újra szeletelnünk kell. Ekkor, tegyük fel, hogy egy lépésben az egész bukta cukros felével van felfelé. Az utolsó vágásnál valóban kettévágtunk egy szeletet, és csak az egyik részét fordítottuk meg. De akkor nem lehetne mindkét része cukros.

Vissza a feladatsorhoz | I. feladat | II. feladat | III. feladat | IV. feladat | V. feladat | VI. feladat | VII. feladat

A verseny kereteit a TÁMOP - 4.2.2/B-10/1-2010-0030 „Önálló lépések a tudomány területén” pályázat biztosította.