Levelezős csapatverseny – 3. feladatsor – megoldások

VII. feladat – 7 pont

Azonban a rádiót hiába építette meg, segítségkérésére nem kapott választ. Tovább kutakodott a bunkerben, és egy naplót talált. Ez állt benne:

„1944. június 12. napsütés, 89F
A tegnap talált kincset a mai napon elrejtettem. Először is elmentem az első partraszállás helyére, ott leraktam egy kókuszdiót, majd a kókuszdiótól elsétáltam a közelben lévő egyetlen pálmafához, és onnan az óramutató járásával megegyező irányban 90°-kal elfordulva megtettem ugyanannyi lépést, mint amennyit odáig kellett. Ezt a pontot is megjelöltem egy kókusszal. Ezután visszasétáltam a kiindulási pontra, és ugyanezt elvégeztem a közelben lévő egyetlen sziklához elsétálva is, azzal a különbséggel, hogy most az óramutató járásával ellentétesen fordultam, majd a kiindulási pontot jelző kókuszt felszedtem, és a maradék kettő közé félúton elástam a kincset. Minden nyomot elrejtettem.”

– Milyen kár, hogy nem ismerem a partraszállás helyét. – sajnálkozott Jancsi – Úgy könnyű lenne megtalálni a kincset. Azonban kicsit tovább gondolkodott, majd elindult egy ásóval a parthoz.

VII. Hogyan találhatja meg mégis a kincset Jancsi?

Megoldás: Megmutatjuk, hogy a Jancsi által lerít módszer az indulási helytől függetlenül mindig ugyanazt a pontot jelöli ki a kincs helyéül. Ennél erősebbet is állítunk: ez a pont mindig az a D pont, amire a PDS háromszög egy egyenlőszárú derékszögű háromszög SP átfogóval, ahol S a sziklát, P a pálmát jelöli.
Legyen K₁ az indulási pontba lerakott kókuszdió, K₂ a másodszorra elhelyezett, és K₃ a harmadik. Jelölje C a K₁ indulási ponthoz tartozó kincshelyet.

A P körüli 90°-os forgatás K₁-et K₂-be, S-et S'-be viszi. Az S körüli -90°-os forgatás K₁-et K₃-ba, P-t P'-be viszi. Ekkor SPS'P' négyszög négyzet, PK₂S' és P'K₃S háromszögek pedig egybevágók PK₁S háromszöggel. Legyen K₁' a K₁ pont tükörképe az SPS'P' négyzet középpontjára. Ekkor PK₁S és P'K₁'S' háromszögek egybevágóságából S'K₁=SK₁. Mivel K₂S'K₁'∠=90°, (K₁SP∠=K₂S'P∠=K₁'S'P' ∠=K₁SP∠), ezért K₂S'K₁' és K₃SK₁ egybevágók. Hasonlóan K₁PK₂ és K₁'P'K₃ háromszögek is egybevágók.
S tükörképe a négyzet középpontjára S', K₁ tükörképe pedig K₁', amiből azt is megkapjuk, hogy S'K₂K₁' háromszög az SK₃K₁' háromszög középponrta vett képe. (Az említett háromszögek egybevágóságát mát beláttuk, tehát ha két csúcspárról már tudjuk, hogy szimmetrikusak a középponrta, a harmadiknak is annak kell lenni.)
Ebből pedig pont azt kapjuk, hogy K₂ és K₃ a négyzet középpontjára szimmetrikusan helyezkedik el, azaz C a négyzet középpontja. Ezzel beláttuk amit szerettünk volna.

A feladat forrása: GeoGebra

Vissza a feladatsorhoz | I. feladat | II. feladat | III. feladat | IV. feladat | V. feladat | VI. feladat | VII. feladat | VIII. feladat | IX. feladat | X. feladat | XI. feladat

A verseny kereteit a TÁMOP - 4.2.2/B-10/1-2010-0030 „Önálló lépések a tudomány területén” pályázat biztosította.